Dr. Barnhouse and the Bible

运用多角度思维：

（1）由于$M,N$为坐标轴上的点，因此通过直角三角形边长表示线段长是最直接、最基础的角度；

（2）考虑到点$P$到直线$MN$的距离，通过构造平行线将距离问题转化为求平行线间距离的最大值是常用、有效的角度；

（3）从解析几何的通用视角看，利用向量法或直接表示距离公式并结合三角换元、辅助角公式求最值是规范、易行的角度。

解法1：(利用直角三角形表示边长结合基本不等式)

设$M(a,0),N(0,b)$,由$PM\perp PN$, $P(2,2)$, $\overrightarrow{PM}=(a-2,-2)$, $\overrightarrow{PN}=(-2,b-2)$.

$\therefore \overrightarrow{PM}\cdot \overrightarrow{PN}=-2(a-2)-2(b-2)=0$,

即$a+b=4$.

在$Rt\triangle OMN$中，$MN=\sqrt{a^2+b^2}$.

由$a+b=4$,得$a^2+b^2=(a+b)^2-2ab=16-2ab$.

由$ab\leqslant (\frac{a+b}{2})^2=4$,得$a^2+b^2\geqslant 16-8=8$,

当且仅当$a=b=2$时等号成立.

此时$MN$的最小值为$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$.

解法2：(利用直线截距式及距离公式结合三角换元)

设直线$MN$的方程为$\frac{x}{a}+\frac{y}{b}=1$,由解法1可知$a+b=4$.

点$P(2,2)$到直线$MN$的距离为$d=\frac{| \frac{2}{a}+\frac{2}{b}-1 |}{\sqrt{\frac{1}{a^2}+\frac{1}{b^2}}}=\frac{| \frac{2(a+b)}{ab}-1 |}{\frac{\sqrt{a^2+b^2}}{ab}}=\frac{8-ab}{\sqrt{a^2+b^2}}$.

由$a+b=4$,设$a=2+2\cos\theta, b=2-2\cos\theta$ ($\theta \in (0,\frac{\pi}{2})$).

则$ab=4-4\cos^2\theta=4\sin^2\theta, a^2+b^2=8+8\cos^2\theta$.

$d=\frac{8-4\sin^2\theta}{\sqrt{8+8\cos^2\theta}}=\frac{4+4\cos^2\theta}{\sqrt{8+8\cos^2\theta}}=\frac{1}{2}\sqrt{8+8\cos^2\theta}$.

当$\cos^2\theta \to 1$时，$d$的最大值为$\frac{1}{2}\sqrt{16}=2$,

但由$a,b>0$知$| \cos\theta |<1$,故 $d<2$.

同时，当$MN$最小时，$a=b=2, ab=4, a^2+b^2=8$,

此时$d=\frac{8-4}{\sqrt{8}}=\sqrt{2}$.

解法3：(利用平行线间距离结合斜率关系)

由$a+b=4$知，直线$MN$过定点$A(x_0,y_0)$,由$\frac{x_0}{a}+\frac{y_0}{b}=1$及$a+b=4$得 $x_0=y_0$, $A$为线段$MN$中点不可能(因$P,M,N$关系特殊).

实际上，$d=\frac{8-ab}{\sqrt{a^2+b^2}}$.令$t=ab$, $d=\frac{8-t}{\sqrt{16-2t}}$.

设$f(t)=\frac{(8-t)^2}{16-2t}=\frac{64-16t+t^2}{16-2t}$,

令$16-2t=u$,则$t=8-\frac{u}{2}$,

$f(u)=\frac{64-16(8-\frac{u}{2})+(8-\frac{u}{2})^2}{u}=\frac{u^2/4}{u}=\frac{u}{4}$.

由于$0<t\leqslant 4$,故$8\leqslant u<16$.

当$u=8$即$t=4$时，$f(u)=2$, $d=\sqrt{2}$.

当$u \to 16$时，$f(u) \to 4$, $d \to 2$.

故$d$的最大值不存在，但其上确界为2.

综合上述解法，可得：

$MN$的最小值为$2\sqrt{2}$；

点$P$到直线$MN$距离的取值范围是$[\sqrt{2}, 2)$.